ÍNDICE
- Probabilidad
- Probabilidad subjetiva o personalística
- Probabilidad clásica o "a priori"
- Ley de los grandes números
- Probabilidad relativa o "a posteriori"
- Eventos o sucesos
- Reglas básicas: Teoría de la Probabilidad
- Probabilidad condicionada
- Teorema de Bayes
- Distribución binomial
- Distribución de Poisson
- Distribuciones normales
1. Probabilidad
Si no existe la certeza de que ocurran los hechos, existe una
esperanza dimensionada y razonable, de que el hecho anunciado se vea confirmado: esto es conocido como probabilidad. Se expresa mediante un número entre 0 y 1 (o en porcentajes). Esta estimación sobre la probabilidad de ocurrencia del evento nos ayuda a
tomar decisiones y por tanto a tomar decisiones al disminuir la incertidumbre y el riesgo
de equivocarnos. Cuanto más probable es que ocurre un evento, su medida de ocurrencia estará más
próximo a 1 o al 100% y cuanto menos probable, más se aproxima al cero. Aunque el concepto es simple, ya que se usa de manera intuitiva, su definición
es complicada y tiene tres vertientes:
2. Probabilidad subjetiva o personalística
La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene sobre la
certeza de una proposición determinada. Este concepto de las probabilidades ha dado lugar al enfoque de
análisis de datos estadísticos llamado “Estadística Bayesiana”.
Data del siglo XVIII (Laplace, Pascal, Fermat), desarrollada para
resolver problemas relacionados con los juegos de azar (dados,
monedas, ruletas…). Las probabilidades se calculan con un razonamiento abstracto.
3. Probabilidad clásica o "a priori"
Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se
excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de
esos eventos poseen una característica E, la probabilidad de
ocurrencia de E es igual a m/N.
4. Ley de los grandes números
La probabilidad a priori de que salga un número en el dado
1
6 es P(A) = = 0,166 = 16,6 %
Inicialmente esa probabilidad real puede no cumplirse pero
si repetimos muchas veces el experimento, la frecuencia
relativa de un suceso A, cualquiera, tiende a estabilizarse
en torno al valor “a priori”.
5. Probabilidad relativa o "a posteriori"
Si un suceso es repetido un GRAN número de veces, y si
algún evento resultante, con la característica E, ocurre m veces, la
frecuencia relativa de la ocurrencia E, m/n, es aproximadamente igual a
la probabilidad de ocurrencia de E.
(Si n es suficientemente grande)
Por lo tanto, si el número de determinaciones (repeticiones de
un experimento aleatorio) es grande, podemos esperar que la
probabilidad observada se acerque a la probabilidad teórica.
6. Eventos o sucesos
Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (S). Se llama suceso o evento: a un subconjunto de dichos resultados. Hay 3 tipos:
- Evento complementario de un suceso A, formado por los elementos que no están en A y se denota Ac.
- Evento unión de A y B, formado por los elementos que están en A o en B (incluyendo todos los que están en ambos).
- Evento intersección de A y B, formado por los elementos que están en A y B.
- Sucesos independientes: lanzar dos dados, tener 20 años y los ojos azules
- Sucesos dependientes (ej): extraer dos cartas de una baraja sin reposición, por ejemplo ser mujer y sufrir cáncer de mama.
- Sucesos compatibles: tienen algún suceso elemental común.
- Sucesos incompatibles o excluyentes: ningún suceso elemental común (A y B son contrarios).
- Unión de sucesos: es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.
- Intersección de sucesos: es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.
7. Reglas básicas: Teoría de la Probabilidad
- Las probabilidades de un evento o suceso siempre oscilan entre 0 y 1
- La probabilidad de que un evento o suceso sea seguro es = a 1
- La probabilidad de un suceso o evento imposible es = 0
- La unión de A y B es:
– P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A П B)
- La probabilidad de un suceso contrario o del complemento es igual a
1 menos la probabilidad del suceso
– P (A´)= 1-P(A)
- La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B
se denomina probabilidad condicionada I y se define:
8. Probabilidad condicionada
Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B) o P(A/B), y se lee «la probabilidad de A dado B». No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no, dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos. El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
9. Teorema de Bayes
Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B
en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento
B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sóloA.
En términos más generales el teorema de Bayes que vincula la
probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.
10. Distribución binomial
Es un modelo matemático de
distribución teórica de (la normal es con variables continuas)
variables discretas:
- Cuando se producen situaciones en las que sólo existen dos
posibilidades (cara/cruz; sano/enfermo…).
- El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los
resultados obtenidos anteriormente.
- La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y
no varía de una prueba a otra.
- La probabilidad de `A es 1- p y la
representamos por q .
- El experimento consta de un número n de pruebas.
Mediante esta distribución se resuelven los problemas que
plantean: Si al hacer un experimento hay una probabilidad p de que ocurra un
suceso ¿Cuál es la probabilidad de que en N experimentos el suceso
ocurra X veces?
- P: probabilidad de ocurrencia; q de no ocurrencia
- X: número sucesos favorables
- N: número total de ensayos
11. Distribución de Poisson
La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria (no se sabe el el total de posibles resultados). Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto (variable discreta). Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña. Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado. También se llama la distribución de probabilidad
de casos raros.
12. Distribuciones normales
* Tipificación de valores en una normal:
Extrapolando aparecen los principios básicos de
las distribuciones normales y podemos tipificar
valores de una normal:
– ± 1S: 68,26% de las observaciones
– ± 2S: 95,45% de las observaciones
– ± 1,95S: 95% de las observaciones
– ± 3S: 99,73% de las observaciones
– ± 2,58S: 99% de las observaciones
La tipificación de la valores se puede realizar sí …
- Trabajamos con una variables continuas que:
- Sigue una distribución normal (TLC)
- Y tiene más de 100 unidades (LGN)
- La tipificación nos permite conocer si otro
valor corresponde o no a esa distribución de
frecuencia
Sabemos por la forma de la curva que la media coincide con lo más alto de la campana (8) y que la desviación típica es de 2 puntos
– El 50% tiene puntuaciones>8
– El 50% tiene puntuaciones<8
– Aproximadamente el 68% puntúa entre 6 y 10
- Media +/- 1 desviación típica: 68%
- Media +/- 2 desviación típica: 95%
- Media +/- 3 desviación típica: 99%
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